Question

函數(shù)f（x）的圖象是[-2，2]上連續(xù)不斷的曲線，且滿足2014^f（-x）=

1

2014f(x)

，且在[0，2]上是增函數(shù)，若f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件可知f（x）為奇函數(shù)，并且根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致可知f（x）在[-2，2]上是增函數(shù)．所以由原不等式得

-2≤log2m≤2 -2≤log4(m+2)≤2 log2m＜log4(m+2)

，解該不等式組即得m的取值范圍．

解答： 解：∵2014^f（-x）=

1

2014f(x)

，即2014^f（-x）=2014^-f（x），可得f（-x）=-f（x）；
又因為函數(shù)的定義域[-2，2]關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性是相同的；
而已知函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)f（x）在[-2，0]上也是單調(diào)遞增的；
故由f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]，可得

-2≤log2m≤2 -2≤log4(m+2)≤2 log2m＜log4(m+2).

；
由-2≤log₂m≤2，解得

1

4

≤m≤4；
由-2≤log₄（m+2）≤2，解得

1

16

≤m+2≤16，即-

31

16

≤m≤14；
由log₂m＜log₄（m+2），得log₄m²＜log₄（m+2），解得0＜m＜2；得

1

4

≤m＜20＜m＜2；
綜上所述，m的取值范圍為[

1

4

，2）．

點評：考查奇函數(shù)的定義，及判斷函數(shù)奇偶性的過程，以及奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性的特點，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，換底公式．