Question

在直角△ABC中，AB=2，AC=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直角邊AB，AC上（不含端點(diǎn)），把△AEF繞直線EF旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后A的位置為A'，則四棱錐A'-BEFC的體積的最大值為______．

Answer 1

設(shè)AE=x，AF=y，則四邊形BEFC的面積S=1-

1

2

•xy，
四棱錐A'-BEFC的高h(yuǎn)=

xy

x2+y2

四棱錐A'-BEFC的體積V=

1

3

×(1-

1

2

•xy)×

xy

x2+y2

≤

1

3

×(1-

1

2

•xy)×

xy

2

=

2

6

×(1-

1

2

•xy)×

xy

（當(dāng)x=y時(shí)等號成立）
假設(shè)

xy

=t，則0＜t＜

2

，
則f（t）=

2

6

(1-

1

2

t2)t=-

2

12

t3+

2

6

t
故f′(t)=-

2

4

t2+

2

6

=0，即t²=

2

3

時(shí)f（t）有最大值
此時(shí)四棱錐A'-BEFC的體積的最大值為V_max=

2

6

(1-

1

2

×

2

3

)×

2 3

=

2 3

27

故答案為

2 3

27