Question

【題目】將圓上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得曲線C.

（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C的交點為、，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據(jù)變換前后坐標的對應(yīng)關(guān)系，利用代入法，求得曲線的直角坐標方程，進而求得其參數(shù)方程.

（II）聯(lián)立直線和曲線的直角坐標方程，求得交點的坐標，由此求得線段中點坐標，結(jié)合所求直線的斜率，求得其直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.

（Ⅰ）設(shè)圓上的一點，在已知變換下變?yōu)辄c，依題意，得

由得

即曲線C的方程為，

所以曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

（Ⅱ）由，解得或

不妨設(shè)，，則線段的中點坐標為，

所求直線斜率，所以所求直線方程為

轉(zhuǎn)化為極坐標方程為，即