Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）=0時x的值，然后討論x的取值來決定導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)極值．
（Ⅱ）由恒成立則有，即函數(shù)的最小值大于等于函數(shù)的最大值證出即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）==0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
當x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)．
所以f（x）的極大值為；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），
都有成立則有，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值為，
并且成立，當且僅當x=1時成立，
函數(shù)的最小值大于等于函數(shù)的最大值，
但等號不能同時成立．
所以，對一切x∈（0，+∞），都有成立．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及不等式恒成立條件的理解能力．