Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥側面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，，D、E分別為AA₁、A₁C的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由線面垂直的性質可得 BC⊥A₁C，由勾股定理可得AC⊥A₁C，從而證得 A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量的坐標，求出法向量夾角的余弦值，再把余弦值取絕對值，即得平面BDE與ABC所成銳二面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵BC⊥側面AA₁C₁C，A₁C?面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C．
在△AA₁C中，，
由余弦定理得，
所以．故有AC²+A₁C²=AA₁²，所以，AC⊥A₁C，而AC∩BC=C，∴A₁C⊥平面ABC．
（Ⅱ）如圖，以C為空間坐標系的原點，分別以CA，CA₁，CB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，
由此可得：，．
設平面BDE的法向量為，則有，得．
令z=1，則x=0，，∴是平面BDE的一個法向量，∵A₁C⊥平面ABC，
∴是平面ABC的一個法向量，
∴，
所以，平面BDE與ABC所成銳二面角的余弦值為．
點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，求出二面角的兩個面的法向量的坐標是解題
的關鍵和難點．