Question

9．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cosA+1，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的值為2+$\sqrt{3}$．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量數(shù)量積的運算可求sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，結(jié)合A的范圍即可得解A的值．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，進(jìn)而利用正弦定理可求b的值，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}cosA+\sqrt{3}+sinA=2sin（{A+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$．
∴$sin（{A+\frac{π}{3}}）=1⇒A=\frac{π}{6}$．
（2）∵$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴由$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$，得$b=\frac{{\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}{{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}\sqrt{3}•2\sqrt{2}sin（{A+B}）=\sqrt{6}（{sinAcosB+cosAsinB}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．