Question

已知函數(shù)f（x）=（ax-1）（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=l代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，需a＜0，且

1

a

≤-1，綜合可得；
（Ⅲ）化為解不等式（ax-1）（x+1）＜0，針對(duì)a的正負(fù)和兩根的大小分類可得．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=（x-1）（x+1）=x²-1，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最小值為f（0）=-1…（2分）
f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為f（2）=3…（3分）
故f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域?yàn)閇-1，3]…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x-1，在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，符合題意…（5分）
當(dāng)a≠0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上是減函數(shù)，
則a＜0，且

1

a

≤-1，…（7分）
所以-1≤a＜0，…（9分）
所以a的取值范圍是[-1，0]
（Ⅲ）由已知，解不等式（ax-1）（x+1）＜0．
當(dāng)a=0時(shí)，可解得x＞-1，解集為{x|x＞-1} …（10分）
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式可化為（x-

1

a

）（x+1）＜0，解得-1＜x＜

1

a

，解集為{|-1＜x＜

1

a

 } …（11分）
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式可化為（x-

1

a

）（x+1）＞0，
若

1

a

=-1，即a=-1時(shí)，x≠-1，解集為{x|}x≠-1；                   …（12分）
若

1

a

＞-1，即a＜-1時(shí)，x＜-1或x＞

1

a

，解集為{x|x＜-1或x＞

1

a

 }           …（13分）
若

1

a

＜-1，即-1＜a＜0時(shí)，x＜

1

a

或x＞-1，解集為{x|x＜

1

a

或x＞-1 }         …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解集，涉及二次函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，屬中檔題．