Question

在平面坐標系xOy中，直線l：y=2x+m（0＜m＜1）與圓x²+y²=1相交于A，B（A在第一象限）兩個不同的點，且∠xoA=α，∠AOB=β，則sin（2α+β）的值是（　�。�

• A、-

  4

  5

• B、

  4

  5

• C、-

  4

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：把直線與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x與y的二元二次方程組，求出方程組的解即可得到交點A和B的坐標，然后根據(jù)α為第一象限的角，由點A的坐標分別求出sinα和cosα的值，β為第三象限的角，由點B的坐標分別求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答： 解：由任意角的三角函數(shù)的定義可知A（cosα，sinα）；
B（cos（α+β），sin（α+β））；
不妨x₁=cosα，y₁=sinα，x₂=cos（α+β），y₂=sin（α+β）
聯(lián)立得：

y=2x+m x2+y2=1

解得：5x²+4mx+m²-1=0，
∴x₁•x₂=cosαcos（α+β）=

m2-1

5

，x₁+x₂=cosα+cos（α+β）=

-4m

5

，
y₁•y₂=sinα•sin（α+β）=4x₁x₂+2m（x₁+x₂）+m²=

4m2-4

5

-

8m2

5

+m²=

m2-4

5

，
則cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）=

m2-1

5

-

m2-4

5

=

3

5

．
∴sin（2α+β）=-

1-cos2(2α+β)

=-

4

5

．
故選：A．

點評：此題考查學生掌握象限角的三角函數(shù)值的求法，靈活運用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．