Question

 

Answer 1

解析：⑴ ①證明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，

∴EC⊥平面ABCD；連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，

∵正方形ABCD的邊長為，∴AC＝BD＝2；

在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O為AC中點(diǎn)，

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，

DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，

∴平面BEF⊥平面DEF 

⑵取BF中點(diǎn)M，BE中點(diǎn)N，連接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，

又∵M(jìn)N∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，；

在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得，

∴，

（3）等體積法：

設(shè)Ｄ點(diǎn)到平面ＡＢＦ的距離為d　   因為是正三角形且邊長為

所以

 ，

所以，　　　解得d=

(或先求點(diǎn)Ｏ到平面ＡＢＦ的距離，由Ｄ點(diǎn)到平面ＡＢＦ的距離是Ｏ點(diǎn)到平面ＡＢＦ距離的兩倍求得)

求法：取ＡＢ的中點(diǎn)Ｍ連ＯＭ，ＦＭ在中過Ｏ點(diǎn)作斜邊ＦＭ的垂線ＯＨ垂足為Ｈ，則ＯＨ為點(diǎn)Ｏ到平面ＡＢＦ的距離，Ｄ到平面ＡＢＦ的距離d=2OH

，所以