Question

10．設F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，O為坐標原點，若OF的垂直平分線與漸近線在第一象限內的交點到另一條漸近線的距離為$\frac{2}{3}$|OF|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 求得交點坐標，利用點到直線的距離公式，即可求得a，c的關系式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
由OF的垂直平分線為x=$\frac{c}{2}$，將x=$\frac{c}{2}$，代入y=$\frac{a}$x，則y=$\frac{bc}{2a}$，
則交點坐標為M（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
由M，到y=-$\frac{a}$x，即bx+ay=0的距離d=$\frac{|\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2}{3}$|OF|=$\frac{2c}{3}$，
解得：2c=3b=3$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即9a²=5c²，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．