Question

已知函數(shù)f(x)=4sinx(sinx-

3

cosx)-5
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為-4sin（2x+

π

6

）-3，由此求得最小正周期，以及函數(shù)的最值．
（2）本題即求函數(shù)t=4sin（2x+

π

6

）的減區(qū)間，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范圍，
即可求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=4sinx(sinx-

3

cosx)-5=4sin²x-4

3

sinxcosx-5=
-4（

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x）-5=-4sin（2x+

π

6

）-3，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，最大值為4-3=1，最小值為-4-3=-7．
（2）本題即求函數(shù)t=4sin（2x+

π

6

）的減區(qū)間，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．