Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則.

（1）求拋物線C的方程；

（2）分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的切線、，若，分別交x軸于點(diǎn)M，N，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，，則方程與拋物線方程聯(lián)立，可得，根據(jù)拋物線的定義可得解得，可得拋物線C的方程為.

（2）根據(jù)，再換元得，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，利用單調(diào)性可得最值.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，

設(shè)，，則方程與拋物線方程聯(lián)立，

整理得，，，

若，根據(jù)拋物線的定義可得，

∴，即拋物線C的方程為.

（2）由（1）知且，，，，

所以切線的方程為即，①

同理切線的方程為，②

聯(lián)立①②得，

即切線與的交點(diǎn)為，

由切線，得，同理可得，

∴

又∵，

點(diǎn)P到直線的距離為

∴，

∴四邊形的面積

令，則，

時(shí)，成立，S單調(diào)遞增，

∴當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積的最小值為