Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），對(duì)a進(jìn)行分類討論，令導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，求解即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分別求解函數(shù)的最值，再根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，列出方程，求解即可求得a的值；
（3）利用參變量分離法，將不等式f（x）＜x²轉(zhuǎn)化為a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)令g（x）=xlnx-x³的取值范圍，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞-a，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-a，+∞）．
綜合①②，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-a，+∞）；
（2）由（1）可知，f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，則x+a≥0，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴f(x)min=f(1)=-a=

3

2

，
∵a≥-1，
∴a=-

3

2

(舍去)；
②若a≤-e，則x+a≤0，
∴f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
∴f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
∴f(x)min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，
∵a≤-e，
∴a=-

e

2

(舍去)；
③若-e＜a＜-1，
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)，
當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上為增函數(shù)，
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3

2

，
∴a=-

e

．
綜合①②③可得，實(shí)數(shù)a的值為a=-

e

；
（3）∵f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
∴lnx-

a

x

＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，
∴不等式兩邊同乘以x得xlnx-a＜x³，即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx-x³，
∴h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h′(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

，
∵x＞1，
∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=-2，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=-1，
∴a≥-1．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．