Question

在△ABC中，H為垂心，G為重心，O為外心，求證：

HG

=2

GO

．

Answer 1

分析：分析：根據題意作出圖形，由外心和垂心的性質證明四邊形AHCD是平行四邊形，由向量加法的三角形法則得

OH

=

OA

+

AH

，由向量相等和向量的減法運算進行轉化，得到

OA

+

OB

+

OC

=

OH

，再根據△ABC重心為G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，結合已知中

OA

+

OB

+

OC

=

OH

，我們易判斷出

OH

=3

OG

，根據數乘向量的幾何意義，即可得到O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2即可．

解答：解答：解：如圖：作直徑BD，連接DA、DC，
由圖得，

OB

=-

OD

，
∵H為△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD為直徑，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四邊形AHCD是平行四邊形，∴

AH

=

DC

又∵

DC

=

OC

-

OD

=

OC

+

OB

，
∴

OH

=

OA

+

AH

=

OA

+

DC

=

OA

+

OB

+

OC

，
∵G為△ABC的重心
∴

GA

+

GB

+

GC

=(

GO

+

OA

)+(

GO

+

OB

)+(

GO

+

OC

)=3

GO

+

OA

+

OB

+

OC

=3

GO

+

OH

=

0

即

OH

=3

OG

即O，G，H三點共線，且OH=3OG
即O，G，H三點共線，且OG：GH=1：2．
從而得到：

HG

=2

GO

．

點評：點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中熟練掌握向量五心的向量表達式形式，如（1）中△ABC外心為O滿足 |

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，（2）中△ABC重心為G滿足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，是解答此類問題的關鍵．