Question

某種細(xì)胞每隔1小時(shí)死亡3個(gè)，其余的細(xì)胞每個(gè)分裂成兩個(gè).若最初有9個(gè)細(xì)胞，n小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)記為a_n.

(1)求a_n關(guān)于n的表達(dá)式f(n);

(2)多少時(shí)間后細(xì)胞的個(gè)數(shù)超過(guò)1 000個(gè)？

Answer 1

解：(1)a₁=9,a_n=2(a_n-1-3),

即a_n=2a_n-1-6,                          ①

a_n+1=2a_n-6.                            ②

②-①,a_n+1-a_n=2(a_n-a_n-1).

令b_n=a_n+1-a_n,則b_n是以b₁=a₂-a₁=12為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

∴b_n=12×2^n-1=3·2ⁿ⁺¹.

∴a_n+1-a_n=3·2ⁿ⁺¹.

    a_n-a₁=3·(2ⁿ+2^n-1+…+2)=3·(2ⁿ-1),

∴a_n=6+3·2ⁿ.

(2)假設(shè)n小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)超過(guò)1 000個(gè)，

則a_n＞1 000,即6+3·2ⁿ＞1 000，

∴2ⁿ＞.

兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得，

n＞log₂，

而2⁸=256＜＜512=2⁹.

又∵n∈N^*,∴n=9.

∴9小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)超過(guò)1 000個(gè).