Question

 已知f（x）=（x∈R）在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=的兩個非零實(shí)根為x₁、x₂．

試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意∈A及t∈[－1，1]恒成立？

若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）f＇（x）== …………．2分

    ∵f（x）在[－1，1]上是增函數(shù)，

    ∴f＇（x）≥0對x∈[－1，1]恒成立，

    即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立．       ①………．．3分

    設(shè)（x）=x²－ax－2，

           （1）=1－a－2≤0，

    ①                         …………4分 －1≤a≤1………………．5分

               （－1）=1+a－2≤0．

   

    ∵對x∈[－1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f＇（-1）=0以及當(dāng)a=－1時，f＇（1）=0

    ∴A={a|－1≤a≤1}．     ………………6分

    （Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

    ∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

             x₁+x₂=a，

    ∴          從而|x₁－x₂|==．

    x₁x₂=－2，

    ∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．

    要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

    當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

    即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立．       ②

    設(shè)g（t）=m²+tm－2=mt+（m），

         g（－1）=m²－m－2≥0，

    ②

             g（1）=m²+m－2≥0，

      

       m≥2或m≤－2．

    所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}．