Question

1．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，D是BC的中點．
（1）求直線BB₁與平面AC₁D所成的余弦值；
（2）求二面角A₁-AC₁-D．

Answer 1

分析 （1）先證明平面ADBC₁⊥平面CBB₁C₁，過C作CE⊥C₁D，說明CC₁E是BB₁與平面AC₁D所成角，通過三角形相似解三角形從而可求BB₁與平面CDB₁所成角的余弦值．
（2）分別求出平面AC₁D的法向量和平面AC₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角C-AC₁-D的余弦值，進而得到二面角A₁-AC₁-D的大�。�

解答 （1）解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D點為棱BC的中點．
∴AD⊥平面CBB₁C₁，
∵AD?平面CDC₁．
∴平面ADBC₁⊥平面CBB₁C₁，
過C作CE⊥C₁D，∵平面ADC₁∩CBB₁C₁=C₁D
∴CE⊥平面ADC₁．
∴∠CC₁E是BB₁與平面AC₁D所成角
∵CC₁⊥BC
∴△CEC₁∽△DCC₁，
由CD=$\frac{1}{2}$BC=1，CC1=2
C₁D=$\sqrt{5}$
得cos∠CC1E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
即直線BB₁與平面AC₁D所成的余弦值：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）取B₁C₁的中點D₁，以D點為坐標原點，以DD₁所在直線為z軸，
以DA所在直線為x軸，所在DC所在直線為y軸建立空間直角坐標系，AA₁=2，

則D（0，0，0），C（0，1，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），M（0，-1，1），C₁（0，1，2），
設(shè)平面AC₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DC}_{1}}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x=0\\ y+2z=0\end{array}\right.$，令z=1，則y=-2，
可求得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
設(shè)平面AC₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$，
可求得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
∴二面角C-AC₁-D的大小為：π-arccos$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中解答本題的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將線面平行問題和二面角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題．