Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=2，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=

n(an+1)

2

．
（I）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=

1

(2an+1)(2an-1)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使不等式Tn＞

k

57

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（I）由題意，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

a1+1

2

，則a1=1．a(chǎn)₂=2，則a₂-a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n(an+1)

2

-

(n-1)(an-1+1)

2

=

1

2

[nan-(n-1)an-1+1]，由此入手能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列，從而能夠求出a_n．
（II）bn=

1

(2an+1)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，所以，Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．由此能夠求出使不等式Tn＞

k

57

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

解答：解：（I）由題意，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

a1+1

2

，則a1=1．
a₂=2，則a₂-a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

n(an+1)

2

-

(n-1)(an-1+1)

2

=

1

2

[nan-(n-1)an-1+1]，an+1=

1

2

[(n+1)an+1-nan+1]，
則an+1-an=

1

2

[(n+1)an+1-2nan+(n-1)an-1]，
則（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
則數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列．…（6分）
從而a_n-a_n-1=1，則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以，a_n=n（n∈N^*）…（8分）
（II）bn=

1

(2an+1)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
所以，Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（12分）
由于Tn+1-Tn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0．
因此T_n單調(diào)遞增，
故T_n的最小值為T1=

1

3

…（14分）
令

1

3

＞

k

57

，得k＜19，
所以k的最大值為18．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．