Question

已知函數(shù)f(x)=2^x-2^-x,數(shù)列{a_n}滿足f(log₂a_n)=-2n.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(2)討論數(shù)列{a_n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

   

Answer 1

思路分析:本題主要考查利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題.(1)由于f(log₂a_n)=-2n,利用f(x)=2^x-2^-x便可得到關(guān)于a_n的方程,解得a_n即可.(2)討論數(shù)列的單調(diào)性,即比較每相鄰兩項(xiàng)a_n與a_n+1的大小.若a_n+1＞a_n,則｛a_n｝為單調(diào)遞增數(shù)列;若a_n+1＜a_n,則{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列.

    解:(1)∵f(x)=2^x-2^-x,f(log₂a_n)=-2n,

∴有=-2n,即a_n-=-2n.

∴a_n²+2na_n-1=0,解得a_n=-n±.

∵a_n＞0,∴a_n=-n.

(2)作商比較.

∵=

=＜1,

    又a_n＞0,

∴a_n+1＜a_n,故數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列.