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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f（x）對任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2.

（1）判斷函數f（x）的奇偶性.

（2）當x∈［-3，3］時，函數f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，請說明理由.

思路解析：本題考查抽象函數的奇偶性和單調性、最值問題.

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（0）=f（0）+f（0）f（0）=0.

而0=x-x，因此0=f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0f（-x）=-f（x）.∴函數f（x）為奇函數.

（2）設x1＜x2，由f（x+y）=f（x）+f（y）知f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）〔f（x）為奇函數〕，∵（x2-x1）＞0，且x＞0時f（x）＜0，∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）.函數f（x）是定義域上的減函數，當x∈［-3，3］時，函數f（x）有最值.當x=-3時，函數有最大值f（-3）；當x=3時，函數有最小值f（3）.

f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6.

∴當x=-3時，函數有最大值6；當x=3時，函數有最小值-6.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數k、b應滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數f（x）是偶函數；
②任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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