Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知$\frac{{S}_{n}}{2}$=a_n-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求a₁的值，若a_n=2ⁿc_n，證明數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n-log₂（n+1），數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N^*且n≥2，都有B_3n-B_n＞$\frac{m}{20}$成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{S}_{n}}{2}$=${a}_{n}-{2}^{n}$，得${S}_{n}=2{a}_{n}-{2}^{n+1}$，從而${a}_{1}={S}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，由此能求出a₁=4；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，從而得到$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，由此能證明數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）求出$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，從而${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}$，進(jìn)而b_n=log₂a_n-log₂（n+1）=n，由此得到${B}_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，B_3n-B_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，令f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，則f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{2}{3n+3}$＞$\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}-\frac{2}{3n+3}$=0，從而數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列，當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=$\frac{19}{20}$，從而$\frac{m}{20}$＜$\frac{19}{20}$，由此能求了出m的最大值．

解答 證明：（1）由$\frac{{S}_{n}}{2}$=${a}_{n}-{2}^{n}$，得${S}_{n}=2{a}_{n}-{2}^{n+1}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，解得a₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ⁺¹）-（2a_n-1-2ⁿ）=$2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，
∴${a}_{n}-2{a}_{n-1}={2}^{n}$，n≥2，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵a_n=2ⁿc_n，∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴${c}_{1}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{4}{2}=2$，c_n-c_n-1=1，
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}$，∴b_n=log₂a_n-log₂（n+1）=n，
∵數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和為B_n，
∴${B}_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴B_3n-B_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
令f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
則$f（n+1）=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{2}{3n+3}$＞$\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}-\frac{2}{3n+3}$=0，
∴f（n+1）＞f（n），∴數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f（2）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$=$\frac{19}{20}$，
據(jù)題意，$\frac{m}{20}$＜$\frac{19}{20}$，得m＜19，
又m為整數(shù)，∴m的最大值為18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查構(gòu)造法、等差數(shù)列、數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．