Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=1，3a₁是 a₃，a₅的等差中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a₃+a₅=6a₁，解得q，即可得出結(jié)論；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，由（1）得b_n=log₂a_n=

n-1

2

，

1

bn

=

2

n-1

（n≥2）.

1

bnbn+1

=

4

(n-1)n

=4（

1

n-1

-

1

n

），即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=1，3a₁是 a₃，a₅的等差中項(xiàng)．
∴a₃+a₅=6a₁，
即q²+q⁴=6，解得q²=2，q=

2

，
∴a_n=1•(

2

)n-1=2

n-1

2

．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=

n-1

2

，

1

bn

=

2

n-1

（n≥2）．
∴

1

bnbn+1

=

4

(n-1)n

=4（

1

n-1

-

1

n

），
∴T_n=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=4（1-

1

n

）=

4(n-1)

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．