Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=2．AB=2

2

，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）求CB₁與平面AA₁B₁B所成的角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得AC⊥CC₁，由勾股定理得AC⊥BC，從而得到AC⊥面BCC₁B₁，由此能證明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）求出平面AA₁B₁B的法向量，利用向量法能求出CB₁與平面AA₁B₁B所成的角正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥面ABC，
∴AC⊥CC₁，
∵AC=BC=BB₁=2．AB=2

2

，
∴AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，
∴AC⊥面BCC₁B₁，
∵BC₁?面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）證明：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，
CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），
C（0，0，0），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），

CD

=(1，1，0)，

CB1

=(0，2，2)，

AC1

=(-2，0，2)，
設(shè)平面CDB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CD =x+y=0 n • CB1 =2y+2z=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，1)，
∵

n

•

AC1

=-2+0+2=0，AC₁不包含于平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：

AB1

=(-2，2，2)，

AB

=(-2，2，0)，
設(shè)平面AA₁B₁B的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AB1 =-2x1+2y1+2z1=0 m • AB =-2x1+2y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，1，0)，
∵

CB1

=(0，2，2)，
設(shè)CB₁與平面AA₁B₁B所成的角為θ，
sinθ=|cos＜

CB1

，

n

＞|=|

2

2 • 8

|=

1

2

，
∴θ=30°，tanθ=

3

3

，
∴CB₁與平面AA₁B₁B所成的角正切值為

3

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．