Question

20．已知圓O：x²+y²=2．
（1）求與圓O相切且與直線x+2y=0垂直的直線方程；
（2）若EF，GH為圓O：x²+y²=2的兩條互相垂直的弦，垂足為M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四邊形EFGH的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結論；
（2）設EF，GH相交于M，圓心O到EF，GH的距離分別為d₁、d₂，則d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$，代入面積公式SS=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|，使用基本不等式求出四邊形EFGH的面積的最大值．

解答 解：（1）設直線方程為2x-y+c=0，則
圓心到直線的距離為$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}$，∴$c=\sqrt{10}$，
∴與圓O相切且與直線x+2y=0垂直的直線方程為2x-y±$\sqrt{10}$=0；
（2）設EF，GH相交于M，圓心O到EF，GH的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$．
四邊形ABCD的面積為：S=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|=2$\sqrt{（2-{xp9to4t_{1}}^{2}）（2-{w4tcu90_{2}}^{2}）}$≤4-（d₁²+d₂²）=2.5，
當且僅當d₁² =d₂²時取等號，即四邊形EFGH的面積的最大值為2.5．

點評 此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算．