Question

已知△ABC的頂點A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC內部（包括邊界），若目標函數(shù)z=

ax+by

c

（a≠0）取得最大值時的最優(yōu)解有無窮多組，則點（a，b）的軌跡可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出三角形對應的區(qū)域，求出對應的直線斜率，根據(jù)目標函數(shù)取得最優(yōu)解的個數(shù)有無窮多組，則得到目標函數(shù)的斜率與三角形對應邊的斜率存在一定的關系，即可得到結論．

解答： 解：作出△ABC對應的平面區(qū)域如圖：則AB的斜率k_AB=

1-0

0-3

=-

1

3

，
AC的斜率k_AC=

1-0

1-3

=-

1

2

，
目標函數(shù)z=

ax+by

c

（a≠0）等價為ax+by=zc，
即y=-

a

b

x+

c

b

z，
若目標函數(shù)z=

ax+by

c

（a≠0）取得最大值時的最優(yōu)解有無窮多組，
則目標函數(shù)的斜率k=k_AB或者k=k_AC，
即-

a

b

=-

1

3

或-

a

b

=-

1

2

，
即b=3a或b=2a，（a≠0），
則點（a，b）的軌跡可能是A，
故選：A

點評：本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的應用，根據(jù)目標函數(shù)取得最優(yōu)解的個數(shù)，確定目標函數(shù)的斜率關系是解決本題的關鍵．