Question

15．已知函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3，
（1）求在點（1，$\frac{5}{3}$）處的切線方程，
（2）求函數(shù)在[-1，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)為0，可得極值點，分別計算極值和區(qū)間端點處的函數(shù)值，比較，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的導數(shù)為y′=2x²-4x，
可得在點（1，$\frac{5}{3}$）處的切線斜率為k=2-4=-2，
即有在點（1，$\frac{5}{3}$）處的切線方程為y-$\frac{5}{3}$=-2（x-1），
即為6x+3y-11=0；
（2）函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的導數(shù)為y′=2x²-4x，
由y′=0，解得x=0或2，都在區(qū)間[-1，3]內，
由x=-1時，y=-$\frac{2}{3}$-2+3=$\frac{1}{3}$；
x=0時，y=3；x=2時，y=$\frac{16}{3}$-8+3=$\frac{1}{3}$；
x=3時，y=18-18+3=3．
則函數(shù)y在[-1，3]的最大值為3，最小值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．