Question

【題目】【2018河南南陽市一中上學(xué)期第三次月考】已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線關(guān)于直線對稱．

（I）證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值；

（II）求的面積最大時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（I）直線的斜率為定值，其值為；（II），或．

【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線和橢圓，解出兩個(gè)的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)坐標(biāo)解出直線斜率；（2）聯(lián)立直線和橢圓根據(jù)弦長公式得到.

再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離得到，此時(shí)面積為，進(jìn)而得到結(jié)果。

解析：

（1）設(shè)直線方程為： ，代入得

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

又由題知，直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得

，

所以直線的斜率

即直線的斜率為定值，其值為.

（2）由（1）可設(shè)直線方程為： ，代入得

，則.由可得.

， 到直線的距離，

可得，

當(dāng)且僅當(dāng)（滿足），即時(shí)取等，此時(shí)直線的方程為： ，或.