Question

10．二項式${（{\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y}）^8}$的展開式中，x⁴y⁴與x²y⁶項的系數之和是$\frac{63}{2}$（用數字作答）．

Answer 1

分析 寫出二項式的通項公式，利用冪指數求解x⁴y⁴與x²y⁶項的系數之和．

解答 解：${（\frac{x}{{\sqrt{2}}}-y）^8}$的展開式的通項為${T_{r+1}}=C_8^r{（\frac{x}{{\sqrt{2}}}）^{8-r}}{（-y）^r}=\frac{{{{（-1）}^r}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-r}}}}C_8^r{x^{8-r}}{y^r}$
當r=4時，可得x⁴y⁴的系數為$\frac{{{{（-1）}^4}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-4}}}}C_8^4=\frac{35}{2}$；
當r=6時，可得x²y⁶的系數為$\frac{{{{（-1）}^6}}}{{{{（\sqrt{2}）}^{8-6}}}}C_8^6=14$；
所以x⁴y⁴與x²y⁶的系數之和是$\frac{35}{2}+14=\frac{63}{2}$．
故答案為：$\frac{63}{2}$．

點評 本題考查二項式定理的應用，系數的性質的求法，考查計算能力．