Question

4．若某正棱臺的底面是正方形，上底面邊長為4cm，下底面邊長為10cm，高為4cm，求此正棱臺的全面積和體積．

Answer 1

分析 先求出${S}_{1}={4}^{2}=16$，${S}_{2}=1{0}^{2}=100$，再求出斜率為5，此正棱臺的全面積S=S₁+S₂+$\frac{上下底周長和}{2}$×斜高，體積V=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}）•h$，由此能求出結果．

解答 解：∵正棱臺的底面是正方形，上底面邊長為4cm，下底面邊長為10cm，高為4cm，
∴${S}_{1}={4}^{2}=16$，${S}_{2}=1{0}^{2}=100$，
如圖，O₁E₁=OG=2，EG=OE-OG=5-2=3，
E₁G=O₁O=4，
∴E₁E=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴此正棱臺的全面積S=S₁+S₂+$\frac{4×4+4×10}{2}×5$=16+100+140=256（cm²）．
∴此正棱臺體積V=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}）•h$
=$\frac{1}{3}（16+100+\sqrt{16×100}）×4$=208（cm³）．

點評 本題考查正四棱臺的全面積和體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．