Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且k_MA-k_MB=-2．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)（0，-

3

4

）作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用斜率公式，結(jié)合k_MA-k_MB=-2，化簡(jiǎn)即可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入曲線方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算弦長(zhǎng)，即可求|PQ|的最小值．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），（1分）
則kMA=

y

x+1

，kMb=

y

x-1

，(x≠±1)（3分）
∴

y

x+1

-

y

x-1

=-2（4分）
∴x²=y+1（x≠±1）（6分）（條件1分）
（2）顯然直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是y=kx-

3

4

，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁-y₂=k（x₁-x₂），（8分）
聯(lián)立

x2=y+1 y=kx- 3 4

，消去y得x2-kx-

1

4

=0（9分）
∵△=k²+1＞0，∴k∈R，（10分）
∵x1+x2=k，x1x2=-

1

4

（11分）
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=k²+1≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)P(-

1

2

，-

3

4

)，Q(

1

2

，-

3

4

)（13分）
∴|PQ|的最小值是1．                                  （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．