Question

6．在平面直角坐標系中，A（-2，0），B（2，0），P（x，y）滿足$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16，設(shè)點P的軌跡為C₁，從C₁上一點Q向圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）作兩條切線，切點分別為M，N且∠MQN=60°
（1）求點P的軌跡方程r
（2）當點Q在第一象限時，連接切點M，N，分別交x，y軸于點C，D，求△OCD面積最小時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16分析可得（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16，將其化簡變形即可得答案；
（2）設(shè)點Q、M、N的坐標，由圓的切線方程可得QM、QN方程，分析可得MN的直線方程，求出MN與坐標軸的交點坐標，進而可以表示△OCD面積，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解（1）由題意$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16，即（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16，
整理得：x²+y²=4，
∴點P的軌跡方程為x²+y²=4，
在Rt△OMQ中，∠MQO=30°，|OQ|=2∴|OM|=2sin30°=1，即圓C的半徑r=1．
（2）設(shè)點Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₀＞0，y₀＞0）
∵QM，QN為圓${C_2}：{x^2}+{y^2}=1$的切線．
∴QM方程為x₁x+y₁y=1，QN方程為x₂x+y₂y=1．
∵Q點在直線QM．QN上，∴MN直線方程為x₀x+y₀y=1．
此時，MN與x軸的交點C坐標為$（\frac{1}{x_0}，0）$，與y軸交點的坐標為（0，$\frac{1}{{y}_{0}}$），
則S_△OCD=$\frac{1}{2{x}_{0}{y}_{0}}$，
分析可得2x₀y₀≤x₀²+y₀²=4，當且僅當x₀=y₀=$\sqrt{2}$等號成立，
此時△OCD面積最小，點Q的坐標為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及基本不等式的應用，關(guān)鍵是求出點P的軌跡方程．