Question

A、B是拋物線y²=2px(p＞0)上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求證：

(1)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；

(2)直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

證明:(1)設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則y₁²=2px₁、y₂²=2px₂.

∵OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0,y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²·(-y₁y₂).

∴y₁y₂=-4p²,從而x₁x₂=4p²也為定值.

(2)∵y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),∴

∴直線AB的方程為,

即,.

亦即.∴直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2p,0)

啟示:本例的證明還可以設(shè)OA的方程為y=kx,OB的方程為.由OA的方程與拋物線的方程聯(lián)立求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，再由OB的方程與拋物線的方程聯(lián)立求得B點(diǎn)的坐標(biāo),利用A、B的坐標(biāo)證明.