Question

【題目】以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題,

①雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)；

②在平面內(nèi)，設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，且，其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；

④過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線(xiàn)有且僅有3條.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)、離心率等知識(shí)來(lái)判定四個(gè)選項(xiàng)

①在雙曲線(xiàn)中，，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，在橢圓中，，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則它們的焦點(diǎn)不相同，故錯(cuò)誤；

②在平面內(nèi)，設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，且，其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤。當(dāng)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，當(dāng)時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，因?yàn)闄E圓的離心率在內(nèi)，雙曲線(xiàn)的離心率大于1，故正確；

④當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支的交點(diǎn)為 ，，

所以與右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，只有一條直線(xiàn)；

，則過(guò)右焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)左右支各一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足此時(shí)有2條直線(xiàn)，一共有3條直線(xiàn)，故正確

綜上真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)

故選C