Question

如圖，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O,A₁C₁∩B₁D₁=O₁,E是O₁A的中點(diǎn).

（1）求二面角O₁—BC—D的大��；

（2）求點(diǎn)E到平面O₁BC的距離.

Answer 1

解法1：（1）過(guò)O作OF⊥BC于F，連結(jié)O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F.

∴∠O₁FO是二面角O₁—BC—D的平面角.

∵OB=2，∠OBF=60°,

∴OF=.

在Rt△O₁OF中，tanO₁FO=,

∴∠O₁FO=60°,即二面角O₁—BC—D為60°.

(2)在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，

∴OE∥O₁C.

∴OE∥面O₁BC.

∵BC⊥面O₁OF，面O₁BC⊥面O₁OF,交線為O₁F，過(guò)O作OH⊥O₁F于H，則OH是點(diǎn)O到面O₁BC的距離.點(diǎn)E到面O₁BC的距離等于OH，sin60°=

∴OH=.

∴點(diǎn)E到面O₁BC的距離等于.

解法2：(1)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA,OO₁⊥OB.

又OA⊥OB,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=，OB=2.

則A（，0，0），B（0，2，0），C（，0，0），O₁（0,0,3）.

∴=(0,2,-3),=(,0,-3).

設(shè)平面O₁BC的法向量為n₁=(x,y,z),則n₁⊥,n₁⊥,

∴

取z=2,則x=,y=3.

∴n₁=(,3,2),而平面AC的法向量為n₂=(0,0,3).

∴cos〈n₁,n₂〉=.

設(shè)O₁—BC—D的平面角為α,

∴cosα=.

∴α=60°.

故二面角O₁—BC—D為60°.

(2)設(shè)點(diǎn)E到平面O₁BC的距離為d,

∵E是O₁A的中點(diǎn)，

∴=（，0，）.

則d=.

∴點(diǎn)E到面O₁BC的距離等于.