Question

6．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=$\sqrt{3}$，則該三棱錐外接球的表面積為5π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，證出BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P-ABC的外接球直徑．利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PB$\sqrt{5}$得外接球半徑，從而得到所求外接球的表面積．

解答 解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P-ABC的外接球直徑；
∵Rt△PBA中，AB=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{5}$，可得外接球半徑R=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴外接球的表面積S=4πR²=5π．
故答案為5π．

點評 本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．