Question

【題目】已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求證:有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對進(jìn)行分類討論，分為，，，幾種情形，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果可得的單調(diào)性，易得1為函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可求.

（1）

①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令，得，，

i）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

ii）當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

②i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

ii）當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)時(shí)，在與單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以在與單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，

當(dāng)時(shí)，取且，

則，

所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，

所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).