Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a≠0),曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),且在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸.

(1)用a分別表示b和c;

(2)當(dāng)bc取得最小值時,求函數(shù)g(x)=-f(x)e^-x的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解:(1)因為f(x)=ax²+bx+c,所以f′(x)=2ax+b.

又因為曲線y=f(x)通過點(0,2a+3),

故f(0)=2a+3.而f(0)=c,從而c=2a+3.

又曲線y=f(x)在(-1,f(-1))處的切線垂直于y軸,

故f′(-1)=0,

即-2a+b=0,因此b=2a.

(2)由(1)得bc=2a(2a+3)=4(a+)²,

故當(dāng)a=-時,bc取得最小值.

此時有b=,c=.

從而f(x)=x²x+,f′(x)=x.

g(x)=-f(x)e^-x=(x²+x)e^-x,

所以g′(x)=(f(x)-f′(x))e^-x=(x²-4)e^-x.

令g′(x)=0,解得x₁=-2,x₂=2.

當(dāng)x∈(-∞,-2)時,g′(x)＜0,故g(x)在x∈(-∞,-2)上為減函數(shù);

當(dāng)x∈(-2,2)時,g′(x)＞0,故g(x)在x∈(-2,2)上為增函數(shù);

當(dāng)x∈(2,+∞)時,g′(x)＜0,故g(x)在x∈(2,+∞)上為減函數(shù).

由此可見,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(2,+∞);單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2).