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已知：
sin4θ
a
+
cos4θ
b
=
1
a+b
，求證：
sin8θ
a3
+
cos8θ
b3
=
1
(a+b)3
．
考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明
專題：證明題,三角函數(shù)的求值
分析：運(yùn)用基本不等式可得，
sin4θ
a
+
a
(a+b)2
≥2
sin2θ
a+b
，①
cos4θ
b
+
b
(a+b)2
≥2
cos2θ
a+b
，②兩式相加結(jié)合同角的平方關(guān)系，再由等號(hào)成立的條件可得sin2θ=
a
a+b
，cos2θ=
b
a+b
，將其代入要證的等式的左邊，即可得證．
解答： 證明：由于a＞0，b＞0，
sin4θ
a
+
a
(a+b)2
≥2
sin2θ
a+b
，①
cos4θ
b
+
b
(a+b)2
≥2
cos2θ
a+b
，②
將①②兩式相加并整理得，
sin4θ
a
+
cos4θ
b
+
a+b
(a+b)2
≥
2
a+b

即為
sin4θ
a
+
cos4θ
b
≥
1
a+b
，③
由題設(shè)知，這三個(gè)不等式應(yīng)同時(shí)取等號(hào)，
即有sin2θ=
a
a+b
，cos2θ=
b
a+b
，
則
sin8θ
a3
+
cos8θ
b3
=
a4
(a+b)4
a3
+
b4
(a+b)4
b3

=
a
(a+b)4
+
b
(a+b)4
=
a+b
(a+b)4

=
1
(a+b)3
．
則
sin8θ
a3
+
cos8θ
b3
=
1
(a+b)3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查同角的平方關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，把棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1放在空間直角坐標(biāo)系中，使D與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別放在x軸和y軸的正半軸上，則B1的坐標(biāo)為：（　　）
A、（2，2，2）
B、（2，2，0）
C、（2，0，2）
D、（0，2，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法：
①x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則f（x）=x-[x]在R上是周期函數(shù)；
②函數(shù)y=e|x-1|的圖象關(guān)于軸y對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=asin2x+bx+4，若f（lg
1
2014
）=2013，則f（lg2014）=-2013；
④若等差數(shù)列{an}滿足a8+a9+a10＞0，a8+a11＜0，則當(dāng)n=9時(shí){an}的前n項(xiàng)和最大；
其中真命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i（-2+i）的虛部為（　　）
A、-2B、-1C、-2iD、2i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=2i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若∠C=
2
3
π，a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差為2．
（1）求c；
（2）如圖，A′，B′分別在射線CA，CB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠A′B′C=θ，試用θ表示線段B'C的長(zhǎng)，并求其范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足log2（Sn+1）=n+1，則數(shù)列{an}的第1，3，5項(xiàng)的和為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用二分法研究函數(shù)f（x）=x3+3x-1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈
 
，第二次應(yīng)計(jì)算的f（x）的值為f（
 
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an-1=sinan（n∈N*），則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�
A、{an}是單調(diào)遞減數(shù)列
B、{an}是單調(diào)遞增數(shù)列
C、{an}可能是等差數(shù)列
D、{an}可能是等比數(shù)列

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同步練習(xí)冊(cè)答案