Question

11．定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
①f（8）=f（0）
②f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
④f（x）關(guān)于點(diǎn)P（$\frac{1}{2}，0$）對(duì)稱．
其中正確的判斷是①③④．

Answer 1

分析 由函數(shù)的奇偶性以及f（x+1）=-f（x）可得函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性，周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
①則f（8）=f（0）成立，即①正確；
②∵f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上單增可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，即②錯(cuò)誤；
③∵f（x+2）=f（x），且函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x），
即f（x+1）=f（1-x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即③正確；
④∵f（x+1）=-f（x）=-f（-x），
∴f（x）關(guān)于點(diǎn)P（$\frac{1}{2}，0$）對(duì)稱．即④正確，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，要求熟練掌握函數(shù)的常用性質(zhì)．