Question

在△ABC中，A=60°，a=2，記△ABC的周長為S₁，面積為S₂，則

s1

s2

的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：令（b+c）=t，由余弦定理可得  bc=

t2-4

3

，則

s1

s2

=

12

3 (t-2)

，由基本不等式可得 b+c≥2

bc

，t²≤16，即t的最大值為4，從而得到

s1

s2

的最小值．

解答：解：令（b+c）=t，則由余弦定理可得 4=b²+c²-2bc•cos60°=（b+c）²-3bc=t²-3bc，
∴bc=

t2-4

3

．則

s1

s2

=

2+b +c

1 2 bc • 3 2

=

4(2+t)

3 • t2-4 3

=

12

3 (t-2)

．
由基本不等式可得 b+c≥2

bc

，（當(dāng)過且僅當(dāng)b=c時取等號），∴t²≥4

t2-4

3

，t²≤16，故t的最大值為4，
故

s1

s2

的最小值是

12

3 (4-2)

=2

3

，
故答案為 2

3

．

點評：本題考查余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，用t表示

s1

s2

，并求出t的最大值，是解題的關(guān)鍵．