Question

19.如圖，曲線G的方程為y²=2x（y≥0）.以原點為圓心，以t（t ＞0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B.直線AB與x軸相交于點C.

（Ⅰ）求點A的橫坐標(biāo)a與點C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；

（Ⅱ）設(shè)曲線G上點D的橫坐標(biāo)為a＋2，求證：直線CD的斜率為定值.

Answer 1

本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力。

解：（Ⅰ）由題意知，。

因為|OA|=t,所以a²+2a=t².

由于t＞0,故有　�。�1）

由點B(0,t),C(c,0)的坐標(biāo)知，直線BC的方程為

。

又因點A在直線BC上，故有

，

將（1）代入上式，得

，

解得。

（Ⅱ）因為，所以直線CD的斜率為

，

所以直線CD的斜率為定值。