Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點均在函數y=-x+12的圖象上．
（Ⅰ）寫出S_n關于n的函數表達式；
（Ⅱ）求證：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅲ）求數列{|a_n|}的前n項的和．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據點均在函數y=-x+12的圖象上，則點的坐標適合方程，代入方程即可求出S_n關于n的函數表達式；
（II）當n≥2時，根據a_n=S_n-S_n-1求出通項，驗證首項即可；
（III）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，數列{a_n}從第7項起均為負數，然后討論n與6的大小，利用分段函數表示數列{|a_n|}的前n項的和．
解答：解 （Ⅰ）由題設得，即S_n=n（-n+12）=-n²+12n．
（Ⅱ）當n=1時，a_n=a₁=S₁=11；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-（-（n-1）²+12（n-1））=-2n+13；
由于此時-2×1+13=11=a₁，從而數列{a_n}的通項公式是a_n=-2n+13．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a₁，a₂，…a₆＞0，數列{a_n}從第7項起均為負數．設數列{|a_n|}的前n項的和為T_n．
當n≤6時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=-n²+12n；
當n≥7時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-…-a_n
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2S₆-S_n=n²-12n+72．
所以數列{|a_n|}的前n項的和為．
點評：本題主要考查了數列與函數的綜合運用，以及等差數列的通項公式和求出，屬于中檔題．