Question

13．（1）已知二次函數滿足f（3x+1）=9x²+6x+5，求f（x）的解析式．
（2）設f（x）是定義在實數集R上的函數，滿足f（0）=1，且對于任意的實數a，b有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（3x+1）=（3x+1）²+4，即可得到函數的解析式，
（2）由題意可知：f（x）是定義在實數集R上的函數，滿足f（0）=1，且對任意實數a、b，有f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1）．令a=b=x，問題得以解決．

解答 解（1）因為f（3x+1）=9x²+6x+5=（3x+1）²+4，
所以f（x）=x²+4，
（2）令a=b=x，則f（0）=f（x）-x（2x-x+1），
又f（0）=1，
所以f（x）=1+x（x+1）
即f（x）=x²+x+1

點評 本題考查的是抽象函數及其應用類問題．在解答的過程當中充分體現了特值法的思想，同時特殊函數值在解答此類問題時意義重大．值得同學們體會和反思．