Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a（x＜2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x≥2）}\end{array}\right.$是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{2}{5}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由分段函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2a-1）x+a（x＜2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x≥2）}\end{array}\right.$是R上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}（2-1）≤2（2a-1）+a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{5}≤a＜\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．