Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過點M（4，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠-3）與橢圓C交于P，Q兩點，記直線MP，MQ的斜率分別為k₁，k₂，試探究k₁+k₂是否為定值．若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式，求得a²=4b²，將M代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線l：代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可取得k₁+k₂=0．

解答 解：（Ⅰ）依題意，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a²=4b²，
由橢圓過點M（4，1），代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=5，a²=20，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）k₁+k₂為定值0，下面給出證明，
設P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8mx+2m²-20=0，
△=（8m）²-4×5×（2m²-20）＞0，解得：-5＜m＜5，且m≠-3，
則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
則（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4），
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1），
=2×$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$+（m-5）（-$\frac{8m}{5}$）-8（m-1），
=0，
∴k₁+k₂=0，
∴k₁+k₂為定值0．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．