Question

19．設(shè)集合A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，4]
• B． [0，$\frac{4}{3}$]
• C． [0，$\frac{1}{2}$]
• D． （-∞，0]∪（$\frac{4}{3}$，+∞]

Answer 1

分析 首先要將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即命題P：A∩B≠∅為假命題，再結(jié)合集合A、B的特征利用數(shù)形結(jié)合即可獲得必要的條件，解不等式組即可獲得問(wèn)題的解答．

解答 解：∵A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，表示平面坐標(biāo)系中以M（4，0）為圓心，半徑為1的圓，

B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，表示以N（t，at-2）為圓心，半徑為1的圓，且其圓心N在直線ax-y-2=0上，如圖．
如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，即兩圓有公共點(diǎn)，則圓心M到直線ax-y-2=0的距離不大于2，
即 $\frac{|4a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤2，解得0≤a≤$\frac{4}{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是集合運(yùn)算和命題的真假判斷與應(yīng)用的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了圓的知識(shí)、集合運(yùn)算的知識(shí)以及命題的知識(shí)．同時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想也在此題中得到了很好的體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．