Question

16．已知命題p：實數m滿足m²+12a²＜7am（a＞0），命題q：實數m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{y^2}{3-m}$=1表示的焦點在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根據命題p、q分別求出m的范圍，再根據p是q的充分不必要條件列出關于m的不等式組，解不等式組即可．

解答 解：由m²-7am+12a²＜0（a＞0），則3a＜m＜4a
即命題p：3a＜m＜4a，
實數m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{y^2}{3-m}$=1表示的焦點在y軸上的橢圓，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{3-m＞0}\\{m-1＜3-m}\end{array}\right.$，
，解得1＜m＜2，
若p是q的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$，
故答案為[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查充分條件、必要條件，一元二次不等式的解法，根據不等式的性質和橢圓的性質求出p，q的等價條件是解決本題的關鍵．