Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1內(nèi)有一點M（2，3），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓左，右焦點，P為橢圓C上的一點，求PM+PF₁的最值．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義表示出PM+PF₁，通過基本不等式求出的最小值，利用三點共線求出最大值，求出對應的點P坐標；

解答 解：如圖，2a=10，F(xiàn)₂（3，0），MF₂=$\sqrt{10}$，
設P是橢圓上任一點，由PF₁+PF₂=2a=10，PM≥PF₂-MF₂，
∴PM+PF₁≥PF₁+PF₂-MF₂=2a-MF₂=10-$\sqrt{10}$，
等號僅當PM=PF₂-MF₂時成立，此時P、M、F₂共線．
由PM≤PF₂+MF₂，
∴PM+PF₁≤PF₁+PF₂+MF₂=2a+MF₂=10+$\sqrt{10}$，
等號僅當PM=PF₂+MF₂時成立，此時P、M、F₂共線．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式、三角形三邊大小關系、三點共線，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力，屬于中檔題．