Question

設(shè)橢圓過(guò)（2，） ，(,1)兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）(4分)因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,

則△=,即

                

要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,（10分）

而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.（11分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208122846875647/SYS201205220814197812320850_DA.files/image035.png"> ，     

所以,

, 

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208122846875647/SYS201205220814197812320850_DA.files/image042.png">所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.

②  當(dāng)時(shí),.

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),

【解析】略