Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足，對任意實數x，都有f（x）≥x，且當x∈（1，3）時，有f（x）≤（x+2）²成立．
（1）證明：f（2）=2，若f（-2）=0，求f（x）的表達式
（2）設g（x）=f（x）-x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點都位于直線y=的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，
又另取x=2時，成立，
∴f（2）=2；
∵，∴，4a+c=1，
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0在R上恒成立，
∴a＞0且△=（b-1）²-4ac≤0，，
解得：，
所以，
（2）由題意可得：g（x）=+在[0，+∞）時必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在[0，+∞）時恒成立，
則有以下兩種情況：
①△＜0，即16（1-m）²-8＜0，解得
②，解得：，
綜上所述：．
分析：（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤（x+2）²成立，得f（2）≤=2，根據兩種情況可得f（2）值；f（-2）=0，由上述證明知f（2）=2，f（x）的表達式中有三個未知數，由兩函數值只能得出兩個方程，再對任意實數x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關系得到0，由此可以得到a=，將此三方程聯(lián)立可解出三個參數的值，求出f（x）的表達式；
（2）g（x）=+在[0，+∞）時必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．轉化為二次函數圖象與x軸在x∈[0，+∞）無交點的問題，由于g（x）的單調性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對稱軸在y軸右側，此時需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對稱軸小于0，且x=0處的函數值大于等于0，轉化出相應的不等式求解．
點評：本題是二次函數的一道綜合題，考查到了分類討論的思想，考查推理論證能力，對分析轉化的推理能力要求較高．